- Відстань між двома паралельними площинами - визначення.
- Знаходження відстані між паралельними площинами - теорія, приклади, рішення.
У цій статті міститься відповідь на питання: «Як знайти відстань між двома паралельними площинами методом координат»? Спочатку дано визначення відстані між паралельними площинами. Далі отримана формула, що дозволяє обчислювати відстань між паралельними площинами, які задані в прямокутній системі координат . У висновку розібрані рішення прикладів і завдань на знаходження відстані між паралельними площинами.
Відстань між двома паралельними площинами - визначення.
Відстань між двома паралельними площинами визначається через відстань від точки до площини . Покажемо, як це робиться.
Розглянемо дві паралельні площини 
і 
. Візьмемо на будь-який з цих площин точку М1 і опустимо перпендикуляр М1H1 з цієї точки на іншу площину. Довжина перпендикуляра M1H1 є відстанню між паралельними площинами і .
Відстань між паралельними площинами - це відстань від довільної точки однієї з паралельних площин до іншої площини.
Таке визначення відстані між паралельними площинами не випадково. Воно тісно пов'язане з наступною теоремою.
Всі точки однієї з паралельних площин знаходяться на однаковій відстані від іншій площині.
Доведення.
Нехай нам дано дві паралельні площини і . Щоб довести цю теорему нам потрібно довести, що два перпендикуляра М1H1 і M2H2, проведені з різних точок М1 і М2 однієї із заданих паралельних площин до іншої площини, мають однакову довжину.
Прямі М1H1 і M2H2 паралельні, так як вони перпендикулярні до однієї площини. З аксіоми про єдиній площині, що проходить через три різні точки, що не лежать на одній прямій, слід, що через дві паралельні прямі проходить єдина площина (про це ми згадували в розділі способи встановлення площини ). Тоді будемо вважати, що через паралельні прямі M1H1 і M2H2 проходить площину 
. Очевидно, площина перетинає площині і за прямими М1М2 і H1H2. Ці прямі не перетинаються (в іншому випадку площині і мали б загальну точку, що неможливо, так як вони паралельні за умовою), отже, вони паралельні. Таким чином, в чотирикутнику М1М2H2H1 протилежні сторони попарно паралельні, отже, М1М2H2H1 - паралелограм (в нашому випадку прямокутник). Отже, його супротивники рівні. Тобто, 
, що й потрібно було довести.
Слід зазначити, що відстань між паралельними площинами є найменшим з відстаней між довільними точками цих паралельних площин.
Знаходження відстані між паралельними площинами - теорія, приклади, рішення.
Переходимо до питання знаходження відстані між паралельними площинами.
На уроках геометрії в 10-11 класах відстань між паралельними площинами знаходиться приблизно так: будується якийсь перпендикуляр від деякої точки однієї площини до іншої площини і визначається його довжина. Для цього, в залежності від умов завдання, застосовується або теорема Піфагора, які ознаки рівності або подібності відповідних трикутників, або визначення синуса, косинуса, тангенса кута.
Якщо ж є можливість ввести прямокутну систему координат і задані паралельні площині описати за допомогою рівнянь, то відстань між паралельними площинами можна відшукати методом координат. Давайте детально його розберемо.
Сформулюємо умову задачі.
Нехай в тривимірному просторі зафіксована прямокутна система координат Oxyz і задані дві паралельні площини і . Потрібно знайти відстань між цими паралельними площинами.
Рішення будемо будувати на основі визначення відстані між паралельними площинами.
Так як в умові завдання визначені площині і , То ми можемо знайти координати 
деякої точки М1, що лежить на одній із заданих площин (для визначеності будемо вважати, що точка 
лежить в площині ). Також ми можемо отримати нормальне рівняння площині у вигляді 
. Тоді шукане відстань 
між паралельними площинами дорівнює відстані від точки до площини , Якій відповідає нормальне рівняння виду . Це відстань обчислюється за формулою 
(Її висновок дивіться в розділі обчислення відстані від точки до площини ).
Отже, щоб знайти відстань між двома паралельними площинами потрібно:
Зокрема, якщо в прямокутній системі координат Oxyz площині відповідає загальне рівняння площини 
, А площині - загальне рівняння площини виду 
, То відстань між паралельними площинами і обчислюється за формулою 
.
Пояснимо, як була отримана ця формула.
нехай точка лежить в площині . Тоді координати точки М1 задовольняють рівняння площини , Тобто, справедливо рівність 
, Звідки маємо 
. Це рівність ми використовуємо пізніше.
Нормальне рівняння площини в залежності від знака числа D2 має вигляд 
або 
. Але при будь-якому значенні числа D2 відстань від точки до площини можна обчислити за формулою 
. З огляду на отримане вище рівність , Остання формула набуде вигляду 
.
Залишилося розібрати рішення кількох прикладів.
.
.
Список літератури.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е. Г., Юдіна І.І. Геометрія. 7 - 9 класи: підручник для загальноосвітніх установ.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Кисельова Л.С., Позняк Е. Г. Геометрія. Підручник для 10-11 класів середньої школи.
- Погорєлов А.В., Геометрія. Підручник для 7-11 класів загальноосвітніх установ.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Вища математика. Том перший: елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.
- Ільїн В.А., Позняк Е. Г. Аналітична геометрія.
Колись розбиратися?
Замовте рішення
Колись розбиратися?
