/ Неевклідові геометрії / Виникнення неевклідової геометрії Лобачевського / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Теорема 2. Якщо у будь-якого одного трикутника сума кутів дорівнює 180 °, то вона дорівнює 180 ° і у будь-якого трикутника.
Доведення. Встановимо перш за все, що якщо сума кутів прямокутного трикутника ABC дорівнює 180 °, то сума кутів прямокутного трикутника ABC 1, катет BC 1 якого дорівнює 2 BC (див. Рис. 7), також дорівнює 180 °.
Для доказу побудуємо на стороні AC трикутник ACB ', рівний ACB (причому так, що 
); в такому випадку всі кути чотирикутника ABCB 'будуть прямими (т. к. сума гострих кутів трикутника ABC за припущенням дорівнює 90 °). Продовживши тепер відрізок AB 'на відстань B' C '= AB' і з'єднавши C 'з C 1, отримаємо чотирикутник B' CC 1 C ', рівний ABCB' (їх можна поєднати за допомогою симетрії відносно прямої B 'C). Тому отримуємо чотирикутник ABC 1 C 'з чотирма прямими кутами; діагональ AC 1 розбиває його на два прямокутні трикутники, сума кутів кожного з яких дорівнює 180 °.
Далі доведемо, що якщо в одному прямокутному трикутнику ABC сума кутів дорівнює 180 °, то сума кутів і будь-якого іншого прямокутного трикутника A 1 B 1 C 1 дорівнює 180 °. Ми можемо вважати, що обидва катета трикутника ABC більше відповідних катетів трикутника A 1 B 1 C 1; якби це було не так, то ми домоглися б потрібного нам стану речей, послідовно подвоївши кілька разів катети трикутника ABC (адже, по доведеному вище, при подвоєнні одного з катетів прямокутного трикутника з сумою кутів 180 ° сума його кутів не змінюється). Накладемо тепер трикутник A 1 B 1 C 1 на трикутник ABC так, щоб у них співпали прямі кути (див. Рис. 8), і проведемо відрізок AC 1.
- 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 -
