Додаток комплексних чисел в електротехніці

Перша згадка про «уявних» числах як про квадратних коренях з негативних чисел відноситься ще до XVI століття. Італійський вчений Джіроламо Кардано (1501-1576) в 1545 році опублікував роботу, в якій, намагаючись вирішити рівняння , Він прийшов до вираження . Через це вираз представлялися дійсні корені рівняння: Таким чином, в роботі Кардано уявні числа з'явилися як проміжні члени в обчисленнях. Заслуга Кардано полягала в тому, що він допустив існування «неіснуючого» числа , Ввівши правило множення: все інше стало справою техніки.

Однак ще три століття математики звикали до цих нових «уявним» числам, час від часу намагаючись від них позбутися. Тільки з XIX століття, після виходу в світ робіт Карла Фрідріха Гаусса (1777-1855), присвячених доказу основної теореми алгебри, комплексні числа прижилися в науці.

Комплексні числа - один з найбільш підходящих розділів курсу математичного аналізу для реалізації професійної спрямованості бакалаврів за напрямом підготовки Інформатика та обчислювальна техніка. При вивченні комплексних чисел необхідно враховувати застосування математичних знань в загальнотехнічних і спеціальних дисциплінах, зокрема електротехніці. Застосування комплексних чисел дає можливість використовувати закони, формули та методи розрахунків, що застосовуються в ланцюгах постійного струму, для розрахунку ланцюгів змінного струму, спростити деякі розрахунки, замінивши графічне рішення з використанням векторів алгебраїчним рішенням, розраховувати складні ланцюги, які іншим шляхом вирішити не можна, спростити розрахунки ланцюгів постійного і змінного струмів.

При розрахунках ланцюгів доводиться проводити математичні операції з комплексними числами, тому студенти повинні вміти виконувати наступні операції: 1) знаходити модуль і аргумент комплексного числа і комплексне число по модулю і аргументу; 2) переводити комплексне число з однієї форми в іншу; 3) проводити додавання і віднімання, множення і ділення комплексних чисел.

Крім цього, дуже важливо навчити будувати криву і вектор за рівнянням синусоїди, вектор по комплексному числу, визначати комплексне число по вектору і рівняння, рівняння з комплексного числа.

В електротехніці тема «Змінний струм» займає значне місце. Це пояснюється тим, що більшість електротехнічних установок працює на змінному струмі, який змінюється синусоидально.

Рівняння змінної напруги має вигляд , Де u - миттєве значення напруги; максимальне значення (амплітуда) напруги; w - кутова частота; t-час; -Початковий фазовий кут; - електричний кут. Це рівняння пов'язує дві змінні величини: напруга u і час t. З плином часу напруга змінюється синусоидально.

Аналогічний вигляд мають рівняння і інших синусоидально змінюються величин: струму , Е.р.с. і т.д.

При розрахунку ланцюгів змінного струму доводиться використовувати синусоидально змінюються величини, тобто виробляти додавання, віднімання, множення і ділення рівнянь зазначеного вище типу.

Додавання синусоїдальних величин занадто багато роботи, особливо якщо доводиться складати велику кількість рівнянь. Синусоїдальна величина однозначно представлена ​​обертовим вектором, довжина якого дорівнює амплітуді, а початкове положення визначається кутом , Обертання вектора відбувається з кутовий швидкістю w. Операції проводяться з рівняннями, що мають однакову кутову частоту, тобто всі вектори, які замінять рівняння, обертаються з однаковою кутовою швидкістю. Отже, їх взаємне розташування не змінюється, відпадає необхідність обертання векторів. Так як вектори замінюють синусоїдальні величини, то додавання чи віднімання, можливо, замінити складанням або вирахуванням векторів.

Мінлива синусоїдальна величина має властивості:

1. Змінна синусоїдальна величина може бути однозначно представлена ​​вектором. Довжина вектора дорівнює амплітуді; кут нахилу порівняно з початковим фазовим кутку.

2. Додавання (і віднімання) синусоїдальних величин можна замінити складанням (і відніманням) векторів.

Крім додавання і віднімання синусоїдальні величини доводиться множити і ділити. І тут на допомогу приходять комплексні числа.

Комплексне число може бути зображено на площині вектором, довжина якого дорівнює модулю комплексного числа, а кут нахилу - аргументу. В електротехніці на відміну від математики уявна одиниця позначається буквою j. Якщо є комплексне число A = a + jb, то його можна представити вектором, де - модуль комплексного числа; -аргумент комплексного числа.

Комплексне число має три форми: алгебраїчну - A = a + jb; тригонометричну - ; показову - .

Комплексне число однозначно представлено вектором, а певного вектору відповідає певний комплексне число.

Таким чином, якщо змінна синусоїдальна величина може бути представлена вектором, а певного вектору відповідає певний комплексне число, то змінна синусоїдальна величина може бути представлена комплексним числом. Такі величини як: напруга і струм, опір і провідність, потужність виражаються комплексними числами.

Напруга і струм. є рівняння . В електротехніці за довжину вектора береться не максимальне, а діюче значення. Воно позначається великою літерою U без індексу і обчислюється шляхом ділення максимального значення на .

Синусоїдальна величина, виражена комплексним числом, називається комплексом і позначається великою літерою з точкою нагорі . Комплекс напруги можна написати в трьох формах алгебраїчної - , Тригонометричної - і показовою - .

Таким чином, в комплексі напруги модуль дорівнює діючому значенню, аргумент - початкового фазового кута, активна складова - речової частини комплексу напруги, реактивна - уявної частини.

Аналогічно для струму: , , , , .

Приклад. Дано: ток в комплексній формі Написати рівняння струму.

Рішення. Для того щоб написати рівняння, треба знати амплітуду і початковий фазовий кут. Тому треба знайти модуль - діюче значення і аргумент - початковий фазовий кут заданого комплексу струму:

, , ,

.

Опір і провідність. Є ланцюг (рис. 1): r - активний опір (лампа розжарювання); - індуктивний опір (котушка); z - загальний опір кола, зване повним.

рис.1 Рис.2

Опору r, , Z утворюють прямокутний трикутник опору
(Рис. 2). кут - кут зсуву фаз. Опору не є синусоїдальними величинами, однак відрізок z може бути виражений комплексним числом, вважаючи, що відрізок r відкладається по осі дійсних чисел, а відрізок - по осі уявних чисел.

Опір в комплексній формі позначається буквою Z. Для ланцюга на рис.2 комплекс опору записується: - алгебраїчна форма; - тригонометрическая форма; - показова форма.

модуль ; аргумент . Таким чином, в комплексі опору модуль дорівнює повного опору, а аргумент - зрушення фаз.

Потужність. Комплекс потужності вийде, якщо комплекс напруги помножити на зв'язаний комплекс струму: , де - комплекс потужності, - пов'язаний комплекс струму.

Після множення отримаємо комплексне число, у якого речова частина дорівнює активної потужності, а уявна частина - реактивної потужності:

, Де P - активна потужність, Q - реактивна потужність.

Приклад. , 6; . Визначити активну P і реактивну Q потужність.

Рішення. Переведемо комплекси напруги і струму в показову форму, для цього знайдемо модуль і аргумент струму і напруги:

, , ,

, , .

Визначимо пов'язаний комплекс струму: ,

Знайдемо активну і реактивну потужності: P = 975Вт, Q = 171 вар.

Алгебраїчна форма комплексного числа зручна при додаванні і відніманні, показова - при множенні і діленні; тригонометрическая служить для перекладу показовою форми в алгебраїчну.

На заняттях викладачі можуть використовувати приклади, які не вдаючись поглиблено в електротехніку, завдання розглядаючи їх лише з математичної точки зору. В якості додаткового матеріалу, самостійної роботи можна запропонувати завдання типу:

1. Дано: а) ; б) ; в) ; г)

Знайти модуль і аргумент комплексного числа.

1. Дано: а) ; б) ; в) .

Написати комплексні числа в показовою і алгебраїчної формах.

1. Дано: а) ; б) ; в) ; Г) ;
   д) ; е) ; ж) .

Перекласти алгебраїчну форму комплексного числа в показову і навпаки.

1. Виконати додавання, множення, ділення комплексних чисел.

Дано: а) ; б) ; в) .

Дана стаття допоможе викладачам математики розібратися в питанні про програму комплексних чисел в електротехнічних розрахунках.

література:

1. Теоретичні основи електротехніки: Теорія електричних ланцюгів і електромагнітного поля: навч. посібник для студ. вищ. навч. закладів / за ред. С.А. Башарина, В.В. Федорова. - М .: Видавничий центр «Академія», 2004. - 304 с.

Основні терміни (генеруються автоматично): комплексне число, число, початковий фазовий кут, алгебраїчна форма, змінна синусоїдальна величина, змінний струм, комплекс напруги, розрахунок ланцюгів, вектор, показова форма.