- параметричне [ правити | правити код ]
- алгебраїчне [ правити | правити код ]
- перетину [ правити | правити код ]
- Багатовимірний тор [ правити | правити код ]
- Поверхня обертання [ правити | правити код ]
Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії
Цей термін має також інші значення див. Тор .
Тор (тороид) - поверхню обертання , Що отримується обертанням утворює окружності навколо осі, що лежить в площині цієї окружності і не перетинає її [1] .
Узагальнено, тор - топологічний простір або гладке різноманіття , Еквівалентну такій поверхні.
Іноді не вимагають, щоб вісь обертання не перетинає утворить коло. У такому випадку, якщо вісь обертання перетинає утворить коло (або стосується її), то тор називають закритим, інакше відкритим [2] .
Поняття тора визначається і в багатовимірному випадку. Тор є прикладом комутативній алгебраїчної групи і прикладом групи Лі .
Тороїдальна поверхню вперше була розглянута давньогрецьким математиком Архітом при вирішенні задачі про подвоєння куба. Інший давньогрецький математик, Персей , Написав книгу про спіріческіх лініях - перетинах тора площиною, паралельної його осі.
Вісь обертання може перетинати коло, торкатися її і розташовуватися поза колом. У перших двох випадках тор називається закритим, в останньому - відкритим, або кільцем [2] .
- Зміна відстані до осі обертання
Окружність, що складається з центрів утворюють кіл, називається направляючою окружністю.
Тор є поверхнею роду 1 (сфера з однією ручкою). Тор є компактним топологічним простором.
Тор має характеристику Ейлера - Пуанкаре χ = 0.
параметричне [ правити | правити код ]
Рівняння тора з відстанню від центру утворює окружності до осі обертання R і з радіусом утворює окружності r може бути задано параметрично у вигляді:
{X (φ, ψ) = (R + r cos ψ) cos φ y (φ, ψ) = (R + r cos ψ) sin φ z (φ, ψ) = r sin ψ φ ∈ [0, 2 π), ψ ∈ [- π, π) {\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x (\ varphi, \ psi) = & (R + r \ cos \ psi) \ cos \ varphi \\ y (\ varphi, \ psi) = & (R + r \ cos \ psi) \ sin \ varphi \\ z (\ varphi, \ psi) = & r \ sin \ psi \\\ end {matrix}} \ right. \ qquad \ varphi \ in [0,2 \ pi), \ psi \ in [- \ pi, \ pi)}
алгебраїчне [ правити | правити код ]
Непараметричне рівняння в тих же координатах і з тими ж радіусами має четверту ступінь:
(X 2 + y 2 + z 2 + R 2 - r 2) 2 - 4 R 2 (x 2 + y 2) = 0 {\ displaystyle \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -r ^ {2} \ right) ^ {2} -4R ^ {2} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) = 0}
Така поверхня має четвертий порядок.
Існують інші поверхні, діффеоморфние тору, що мають інший порядок.
y 2 = x 3 + x + 1 {\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + x + 1} 
Тор в тривимірному просторі має точки позитивної та негативної кривизни . У тора, вкладеного в чотиривимірний простір, кривизна в усіх точках дорівнює нулю [ Джерело не вказано 893 дня ].
Відповідно до теоремою Гаусса-Бонні інтеграл кривизни по всій поверхні тора дорівнює нулю.
перетину [ правити | правити код ]
- При перетині тора бікасательной площиною получающаяся крива четвертого порядку виявляється вироджених: перетин є об'єднанням двох кіл званих колами Вілларсо .
- Зокрема, відкритий тор може бути представлений як поверхня обертання кола зачепленою за вісь обертання
- Одне з перетинів відкритого тора - лемніската Бернуллі , Інші криві лінії є графічними лініями і називаються кривими Персея [5] (Спіріческімі лініями, перетинами тора площиною, паралельної його осі)
- Деякі перетину поверхні тора площиною зовні нагадують еліпс (Криву 2-го порядку). Отримана таким чином крива виражається алгебраїчним рівнянням 4-го порядку [6] .
Багатовимірний тор [ правити | правити код ]
Узагальненням 2-мірного тора є багатовимірний тор (також n -тор або гіпертор):
T n = S 1 × ⋯ × S 1 ⏟ n. {\ Displaystyle \ mathbf {T} ^ {n} = \ underbrace {S ^ {1} \ times \ cdots \ times S ^ {1}} _ {n}.}
Поверхня обертання [ правити | правити код ]
Тор - окремий випадок поверхні обертання .
- Савелов А. А. Плоскі криві: Систематика, властивості, застосування. М .: Физматгиз, 1960. 293 с. Перевидана в 2002 році, ISBN 5-93972-125-7
