ЄДІ 2018: рішення текстових завдань з рівняннями і системами

1. Завдання за участю водного транспорту.
2. Завдання на відсотки з рівняннями і без них.
3. Завдання на системи лінійних рівнянь.
4. Завдання на об'їзд, обгін і зустрічний рух.
5. Завдання на середню швидкість.
6. Завдання на продуктивність.

Тут Ви зможете потренуватися у вирішенні текстових завдань ЄДІ з математики, для яких, як правило, потрібно скласти і вирішити рівняння або систему рівнянь, рідше - нерівність або сиcтему нерівностей. У демонстраційному варіанті профільного рівня ЄДІ 2018 року це завдання можуть зустрітися під номером 11.

Рекомендую починати рішення таких задач з короткої записи їх умови. І ні в якому разі не поспішайте дивитися відповіді і рішення раніше, ніж встигнете самі подумати про них. Можливі різні способи вирішення, і не факт, що Ваш спосіб набагато гірше мого.

Увага:

Для посилення навчального ефекту відповіді і рішення завантажуються окремо для кожного завдання послідовним натисканням кнопок на жовтому тлі. (Коли завдань багато, кнопки можуть з'явитися з затримкою. Якщо кнопок не видно зовсім, перевірте, чи дозволений у вашому браузері JavaScript.)

Завдання за участю водного транспорту.

Такі завдання дуже часто зводяться до вирішення квадратного рівняння. Повторіть його.

завдання 1

Відстань між пристанями A і B дорівнює 120 км. З A в B за течією річки відправився пліт, а через годину слідом за ним вирушила яхта, яка, прибувши в пункт B, негайно повернула назад і повернулася в A. До цього часу пліт пройшов 24 км. Знайдіть швидкість яхти в нерухомій воді, якщо швидкість течії річки дорівнює 2 км / год. Відповідь дайте у км / год.

Рішення

Швидкість яхти в нерухомій воді позначимо символом v.
Пліт рухається зі швидкістю течії річки (2 км / год), тому легко обчислити, за скільки часу пліт пройшов 24 км: 24/2 = 12 годин.
Яхта вирушила на годину пізніше, значить вона була в дорозі 12 - 1 = 11 годин. За цей час вона пройшла з пункту A в пункт В за течією річки зі швидкістю v + 2 км / год, витративши на це 120 / (v + 2) годин, і назад - проти течії зі швидкістю v - 2 км / год, витративши на повернення 120 / (v - 2) годин.
Прирівнюючи суму часів на шлях туди і назад загального часу в дорозі, складаємо рівняння і вирішуємо його.

Негативний корінь рівняння в якості швидкості судна не має сенсу, тому v = 22 км / год.

Відповідь: 22

завдання 2

Моторний човен о 10:00 вийшла з пункту А в пункт В, розташований в 30 км від А. Пробувши в пункті О 2 годині 30 хвилин, човен вирушила назад і повернулася в пункт А о 18:00 того ж дня. Визначте (в км / год) власну швидкість човна, якщо відомо, що швидкість течії річки 1 км / год.

Рішення

Позначимо символом v км / год власну швидкість човна. Тоді швидкість човна за течією річки становить v + 1 км / год, на зворотному шляху v - 1 км / год.
Відстань між пунктами нам відомо. Визначимо час у дорозі за течією річки 30 / (v + 1) годин і час у дорозі проти течії 30 / (v - 1) годин. Склавши ці часи, можемо дізнатися загальний час руху човна.
З іншого боку, нам відомі початковий і кінцевий моменти всієї поезки, можемо визначити її тривалість. Всього поїздка тривала 18 - 10 = 8 годин. З них 2 години 30 хвилин = 2,5 години човен був на стоянці в пункті В, значить все в русі 8 - 2,5 = 5,5 годин.
Прирівнюючи ці часи, складаємо рівняння і вирішуємо його. Так як в рівнянні присутні дробу, то число 5,5 теж зручніше записати у вигляді звичайного дробу 11/2.

Негативний корінь рівняння в якості швидкості човна не має сенсу, тому v = 11 км / год.

Відповідь: 11

завдання 3

Пристані A і B розташовані на озері, відстань між ними одно 390 км. Баржа вирушила з постійною швидкістю з A в B. На наступний день вона вирушила назад зі швидкістю на 3 км / год більше колишньої, зробивши по дорозі зупинку на 9 годин. В результаті вона затратила на зворотний шлях стільки ж часу, скільки на шлях з A в B. Знайдіть швидкість баржі на шляху з A в B. Відповідь дайте у км / год.

Рішення

Позначимо символом v км / год швидкість баржі в напрямку від А до В. Тоді швидкість баржі в зворотному напрямку дорівнює v + 3 км / год. Від А до В баржа рухалася 390 / v годин, назад рухалася 390 / (v + 3) годин і ще 9 годин стояла, всього на зворотний шлях пішло 390 / (v + 3) + 9 годин. За умовою час у дорозі туди одно часу на зворотний шлях, тому можемо прирівняти часи, скласти і вирішити рівняння.

Негативний корінь рівняння в якості швидкості баржі не має сенсу, тому v = 10 км / год.

Відповідь: 10

Зауваження: На озері немає швидкості течії води в одному напрямку.

У наступній завданню з'являється додаткове "дійова особа" - пора року, тому стає зручніше вирішувати не рівнянням, а системою рівнянь.

завдання 4

Навесні катер йде проти течії річки в 1 2/3 рази повільніше, ніж за течією. Влітку протягом стає на 1 км / год повільніше. Тому влітку катер йде проти течії в 1 1/2 рази повільніше, ніж за течією. Знайдіть швидкість течії навесні (в км / год).

Рішення

Позначимо символом v власну швидкість катера (км / год), символом x - швидкість течії річки навесні (км / ч). Тоді швидкість течії річки влітку становить (x - 1) км / год. маємо
навесні: катер йде проти течії зі швидкістю (v - x), за течією зі швидкістю (v + x). За умовою перша швидкість в 1 2/3 рази менше, тобто
(V + x) / (v - x) = 1 2/3;
влітку: катер йде проти течії зі швидкістю (v - (x - 1)), за течією зі швидкістю (v + (x - 1)). За умовою перша швидкість в 1 1/2 рази менше, тобто
(V + (x - 1)) / (v - (x - 1)) = 1 1/2.
Об'єднуємо рівняння в систему і вирішуємо її:

Відповідь: 5

Завдання на відсотки з рівняннями і без них.

Наступну задачу можна віднести до завдань на сплави і розчини, а можна вважати такою ж звичайною завданням на відсотки, як прості текстові задачі на відсотки. В цей розділ, як я вважаю, вона віднесена нема за математичну складність, а за "трудність" понять "виноград" і "родзинки". Чи не так?

завдання 5

Виноград містить 90% вологи, а родзинки - 5%. Скільки кілограмів винограду потрібно для отримання 20 кілограмів родзинок?

Рішення

Для отримання родзинок виноград сушать, тобто видаляють з нього вологу. Волога нам не потрібна, потрібно інше!
Спосіб I.
Цього решти в родзинках 100% - 5% = 95%, тобто 20 · 0,95 = 19 кг. (95% = 0,95. Частина від числа знаходимо множенням.)
У винограді решти було стільки ж, 19 кг. (Воно не зникало і не приростала при сушінні.) За умовою завдання інше в винограді становило 100% - 90% = 10%. Таким чином 10% = 0,1 становлять 19 кг. Число на його частини знаходимо діленням: 19 / 0,1 = 190 кг.
Для отримання 20 кілограмів родзинок потрібно 190 кілограмів винограду.
Спосіб II.
Позначимо вага винограду за x кг. Визначимо кількість не вологи (решти) у винограді: x - x · 0,9. Визначимо кількість не вологи (решти) в родзинках: 20 - 20 · 0,05. Це рівні кількості, тому можна скласти рівняння
x - x · 0,9 = 20 - 20 · 0,05.
Вирішуємо рівняння: x · (1 - 0,9) = 20 - 1; x · 0,1 = 19; x = 19 / 0,1 = 190.

Відповідь: 190

І ще одна проста задача на відсотки, подібна до тих, які ми вирішували в розділі "Прості текстові задачі".

завдання 6

У 2008 році в міському кварталі проживало 40000 осіб. У 2009 році, в результаті будівництва нових будинків, число жителів зросла на 8%, а в 2010 році - на 9% в порівнянні з 2009 роком. Скільки людей стало проживати в кварталі в 2010 році?

Рішення

У 2008 році проживало 100% або 40000 осіб, в 2009 році - на 8% більше, тобто 108%, або 40000 · 1,08 = 43200 чоловік.
У 2009 році проживало 100% або 43200 чоловік, в 2010 році - на 9% більше, тобто 109%, або 43200 · 1,09 = 47088 чоловік.

Відповідь: 47088

А тепер порівняйте наступну і попередню завдання. Схожі?

завдання 7

У понеділок акції компанії подорожчали на деяке число відсотків, а у вівторок подешевшали на те ж саме число відсотків. В результаті вони стали коштувати на 4% дешевше, ніж при відкритті торгів у понеділок. На скільки відсотків подорожчали акції компанії в понеділок?

Рішення

При відкритті торгів у понеділок акції коштували 100% або А рублів, до початку торгів у вівторок - на х% більше, тобто (100 + х)% або А · (100 + х) / 100 рублів.
При відкритті торгів у вівторок акції коштували 100% або А · (100 + х) / 100 рублів, після закінчення торгів у вівторок - на х% менше, тобто (100 - х)% або (А · (100 + х) / 100) · (100 - х) / 100 рублів.
З іншого боку,
при відкритті торгів у понеділок акції коштували 100% або А рублів, після закінчення торгів у вівторок - на 4% менше, тобто 96% або А · 0,96 рублів.
Складаємо рівняння для вартості акцій на кінець дня вівторка:
(А · (100 + х) / 100) · (100 - х) / 100 = А · 0,96.
Обидві частини рівняння розділимо на А і помножимо на 1002, одержимо:
(100 + х) · (100 - х) = 9600.
Таким чином, в рівнянні величина А "скоротилася", тобто вона не була дана в умови тому, що не впливає на результат рішення. Нам А знадобилася лише для того, щоб міркувати аналогічно попередньої простого завдання.
Отже, вирішуємо рівняння:
1002 - х 2 = 9600;
х 2 = 10000 - 9600 = 400;
х = 20 (%).

Відповідь: 20

завдання 8

Митя, Антон, Гоша і Борис заснували компанію зі статутним капіталом 200000 рублів. Митя вніс 14% статутного капіталу, Антон - 42000 рублів, Гоша - 0,12 статутного капіталу, а решту капіталу вніс Борис. Засновники домовилися ділити щорічний прибуток пропорційно внесеному до статутного капіталу вкладу. Яка сума від прибутку 1000000 рублів належить Борису? Відповідь дайте у рублях.

Рішення

Визначимо яка частина статутного капіталу внесено кожним засновником. Митя - 14% = 0,14. Антон - 42000/200000 = 0,21. Гоша - 0,12. Борис - 1 - (0,14 + 0,21 + 0,12) = 0,53.
Прибуток ділиться пропорційно внесеному капіталу. Отже, якщо Борис вніс 0,53 частини від 200000, то він повинен отримати також 0,53 частини від 1000000. Частина від числа знаходимо множенням 1000000 × 0,53 = 530000 (рублів).

Відповідь: 530000

Завдання на системи лінійних рівнянь.

завдання 9

Є два сплаву. Перший містить 5% нікелю, другий - 20% нікелю. З цих двох сплавів отримали третій сплав масою 225 кг, що містить 15% нікелю. На скільки кілограмів маса першого сплаву менше маси другого?

Рішення

Позначимо за х кг масу першого сплаву, за y кг масу другого. Поєднавши сплави разом, отримали х + y = 225 кг третього сплаву.
При отриманні третього сплаву також об'єднали весь нікель. У першому сплаві його було х · 0,05 кг, у другому було y · 0,20 кг, в третьому стало х · 0,05 + y · 0,20, що за умовою задачі становить 15% від 225 кг, т. е. 225 · 0,15 кг = 33,75 кг. Таким чином, х · 0,05 + y · 0,20 = 33,75.Получілі два рівняння об'єднуємо їх в систему і вирішуємо її.

Визначили маси обох сплавів х = 75 кг і y = 150 кг. У відповіді потрібно записати їх різниця (на скільки маса першого менше маси другого), тобто 150 - 75 = 75 (кг).

Відповідь: 75

Одна з головних труднощів при алгебраїчному рішенні текстових завдань полягає у виборі невідомої величини або величин, які будуть позначені літерами. Я раджу починати або з того, що запитується в питанні завдання, або з того, що міститься в основній формулі, яка описує процес. Наприклад, рішення задачі на рух заснований на застосуванні правила "відстань = швидкість × час". Значить або відстань = x, або час = t, або швидкість = v, дивлячись що дано, а що невідомо. При цьому, можна отримати рівняння алгебри різного виду. Адже і "швидкість = відстань: час" і "час = відстань: швидкість". Власне це варіанти однієї і тієї ж фізичної формули. І від того, в якому варіанті ви її раніше згадайте, буде залежати, як ви введете позначення і які отримаєте рівняння. Тут не може бути правильного або неправильного початку рішення задачі, почніть як-небудь, важливо, щоб було правильним закінчення. Однак, рішення може виявитися оптимальним і неоптимальним. Ви можете отримати занадто громіздкі і складні рівняння. У цьому випадку варто спробувати повернутися до початку завдання і ввести інше позначення.

Системи рівнянь має сенс складати тоді, коли в завданні йдеться про двох або декількох об'єктах, на які одночасно діють два або кілька факторів, накладається два або кілька сумісних умов і т.п. Таких ситуацій багато в побуті, в техніці і, особливо багато, в економіці. Ті з вас, хто збирається продовжувати освіту, ще не раз зіткнуться з системами з різної кількості рівнянь з різною кількістю невідомих. На іспиті, як правило, ви будете складати і вирішувати системи з двох рівнянь з двома невідомими.

Завдання на об'їзд, обгін і зустрічний рух.

Коли ми вирішуємо на уроці математики завдання на рух, ми рідко згадуємо про те, що всі формули відносяться до опису руху матеріальної точки. Відбувається це тому, що об'єкт, що рухається, як правило, дуже малий у порівнянні з відстанню, яке він проходить. Наприклад, поїзд, який випливає з Москви в Тюмень всього лише точка на карті Росії. Але поїзд, який їде по залізниці в той час, коли ми стоїмо на переїзді і чекаємо його, зовсім не крапка. Його проїзд вздовж закритого шлагбаума займає часом чимало часу. Чи можна в цьому випадку застосовувати ті ж формули? Давайте заглянемо в підручник фізики, розділ механіка. Відповідь: можна, якщо не потрібно враховувати обертання або деформування рухомого об'єкту. Як застосовувати? Записати їх для деякої точки цього об'єкта, найчастіше, для центра ваги. Однак це не обов'язково, можна вибрати будь-яку точку, яка нерухома відносно самого об'єкта.

Отже, щоб вирішувати завдання на поступальний рух з протяжним об'єктом, ставимо на ньому крапку в зручному місці, потім креслимо схему, на якій відзначаємо положення цієї точки в задані моменти часу. І не забуваємо перейти до однакових одиницях виміру.

У таких завданнях з поїздами, точку я ставила на самому початку - "на носі" поїзда. Схему малювала на нижній лінії, а вище малюнки, які її пояснюють.

завдання 10

Поїзд, рухаючись рівномірно зі швидкістю 80 км / год, проїжджає повз придорожнього стовпа за 36 секунд. Знайдіть довжину поїзда в метрах.

Рішення

1) Час дано в секундах, довжину проїзду потрібно знайти в метрах, тому висловимо швидкість в м / c. Помножимо на 1000, щоб перейти від кілометрів до метрам, і двічі розділимо на 60, щоб перевести годинник в хвилини, а хвилини в секунди: 80 км / год = 80 · 1000/60/60 = 800/36 м / с.
2) Ставимо червону крапку "на носі" поїзда. Креслимо схему, на якій відзначаємо положення цієї точки, коли поїзд тільки почав рух повз стовпа, і положення цієї точки через 36 секунд, коли поїзд проїхав повз стовпа.

3) За схемою видно, що точка пройшла відстань AB. Відомо час (36 с), відома швидкість (800/36 м / с), можемо знайти цю відстань.
AB = (800/36) · 36 = 800 (м).
4) З малюнка видно, що це відстань збігається з довжиною поїзда.

Відповідь: 800

Зауваження: іноді краще не проводити до кінця поділ в проміжних викладках, тому що в кінці дріб може легко скоротитися, як це вийшло тут з числом 36.

завдання 11

Поїзд, рухаючись рівномірно зі швидкістю 60 км / год, проїжджає повз лісосмуги, довжина якої дорівнює 400 метрам, за 1 хвилину. Знайдіть довжину поїзда в метрах.

Рішення

1) Час дано в хвилинах, довжину проїзду потрібно знайти в метрах, тому висловимо швидкість в м / хв: 60 км / год = 60 · 1000/60 м / хв = 1000 м / хв.
2) Ставимо червону крапку "на носі" поїзда. Креслимо схему, на якій відзначаємо положення цієї точки, коли поїзд почав рух повз лісосмуги, і положення цієї точки через хвилину, коли поїзд тільки що проїхав її повністю.

3) За схемою видно, що точка пройшла відстань AС. Відомо час (1 хв), відома швидкість (1000 м / хв), можемо знайти яку: AC = 1000 · 1 = 1000 (м).
4) З малюнка видно, що це відстань складається з двох частин - відрізок АВ дорівнює довжині поїзда і відрізок ВС дорівнює довжині лісосмуги.
Знаходимо АВ = AC - BC = 1000 - 400 = 600 (м).

Відповідь: 600

завдання 12

По двох паралельних залізничних коліях в одному напрямку йдуть пасажирський і товарний потяги, швидкості яких дорівнюють відповідно 90 км / год і 30 км / год. Довжина товарного поїзда дорівнює 600 метрам. Знайдіть довжину пасажирського поїзда, якщо час, за яке він пройшов повз товарного поїзда, дорівнює 1 хвилині. Відповідь дайте у метрах.

Рішення

1) Час дано в хвилинах, відповідь потрібно дати в метрах, тому висловлюємо обидві швидкості в м / хв: 90 км / год = 90 · 1000/60 = 1500 м / хв; 30 км / год = 30 · 1000/60 = 500 м / хв.
2) Ставимо червону крапку "на носі" пасажирського поїзда, і фіолетову точку "на носі" товарного поїзда. Креслимо схему, на якій відзначаємо положення обох точок в момент, коли пасажирський поїзд наздогнав товарний, і їхнє становище через хвилину, коли пасажирський поїзд закінчив обгін товарного.

3) За схемою видно, що червона точка пройшла відстань AD за 1 хвилину зі швидкістю 1500 м / хв, отже AD = 1500 · 1 = 1500 (м). Аналогічно, фіолетова точка пройшла відстань BС за 1 хвилину зі швидкістю 500 м / хв, отже BC = 500 · 1 = 500 (м).
4) З малюнка видно, що AD = AB + ВС + CD, де відрізок АВ дорівнює довжині пасажирського поїзда, відрізок СD дорівнює довжині товарного поїзда.
Знаходимо довжину пасажирського поїзда АВ = AD - BC - CD = 1500 - 500 - 600 = 400 (м).

Відповідь: 400

завдання 13

По двох паралельних залізничних коліях назустріч один одному йдуть швидкий і пасажирський потяги, швидкості яких дорівнюють відповідно 65 км / год і 35 км / год. Довжина пасажирського поїзда дорівнює 700 метрам. Знайдіть довжину швидкісного потяга, якщо час, за яке він пройшов повз пасажирського поїзда, так само 36 секундам. Відповідь дайте у метрах. 1) Час дано в секундах, відповідь потрібно дати в метрах, тому висловлюємо обидві швидкості в м / с: 65 км / год = 65 · 1000/60/60 м / с = 650/36 м / с; 35 км / год = 35 · 1000/60/60 м / с = 350/36 м / с.
2) Ставимо червону крапку "на носі" швидкого поїзда і фіолетову точку "на носі" пасажирського поїзда. Креслимо схему, на якій відзначаємо положення обох точок в момент, коли поїзди зустрілися, і їхнє становище через 36 секунд, коли вони пройшли один одного.

3) За схемою видно, що фіолетова точка пройшла відстань AB = (350/36) · 36 = 350 метрів, a червона точка пройшла відстань BD = (650/36) · 36 = 650 метрів.
4) З малюнка видно, що сума пройдених відстаней - відрізок AD - дорівнює загальній довжині двох поїздів. Знайдемо довжину швидкісного потяга:
СD = AB + BD - AC = 350 + 650 - 700 = 300 (метрів).

Відповідь: 300

Для тих з вас, хто знає, що таке відносна ШВИДКІСТЬ, и не боїться елементів фізики в математичних задачах, напаскудити, что існує прийом, что дозволяє помітно спростіті решение задач на об'їзд, обгін и зустрічній рух. Потрібно один об'єкт "зупинити", а швидкість іншого збільшити на величину швидкості першого, якщо вони рухаються назустріч один одному, або, відповідно, зменшити, якщо обидва рухаються в одному напрямку. Нижче наведено вирішення завдань 12 і 13 цим способом.

Рішення способом II для завдання 12.
Розглянемо рух пасажирського поїзда щодо товарного. Тоді товарний поїзд "коштує", а пасажирський їде зі швидкістю 90 - 30 = 60 км / год = 1000 м / хв. З цією швидкістю за 1 хвилину він проїжджає відстань 1000 м, яка дорівнює довжині товарного поїзда плюс його власна довжина. (Див. Картинку до задачі 11 про лісосмугу, в якості якої тепер виступає "стоїть" товарний поїзд.) Отже, його власна довжина = 1000 - 600 = 400 м.
Відповідь: 400.

Рішення способом II для завдання 13.
Розглянемо рух швидкісного потяга щодо пасажирського. Тоді пасажирський поїзд "коштує", а швидкий їде зі швидкістю 65 + 35 = 100 км / ч = 100 × 1000/3600 = 1000/36 м / c. З цією швидкістю за 36 секунд він проїжджає відстань 1000 м, яка дорівнює довжині пасажирського поїзда плюс його власна довжина. (Див. Картинку до задачі 11 про лісосмугу, в якості якої тепер виступає "стоїть" пасажирський поїзд.) Отже, його власна довжина = 1000 - 700 = 300 м.
Відповідь: 300.

Який спосіб краще - судити вам. Але спочатку спробуйте самостійно вирішити таку задачу.

завдання 14

По морю паралельними курсами в одному напрямку йдуть два суховантажі: перший довжиною 120 метрів, другий - довжиною 80 метрів. Спочатку другий суховантаж відстає від першого, і в певний момент часу відстань від корми першого суховантажу до носа другого становить 400 метрів. Через 12 хвилин після цього вже перший суховантаж відстає від другого так, що відстань від корми другого суховантажу до носа першого дорівнює 600 метрам. На скільки кілометрів на годину швидкість першого суховантажу менше швидкості другого?

Рішення

Спосіб I.

Швидкість руху першого суховантажу в метрах за хвилину (м / хв) позначимо символом v1, другого - символом v2. Тоді за 12 хвилин перший суховантаж пройшов відстань v1 · t = v1 · 12 (м), другий суховантаж пройшов відстань v2 · t = v2 · 12 (м).
Ставимо червону крапку на носі першого суховантажу, зелену - на носі другого. Малюємо схему: точки A, C - становище судів в початковий момент часу, D, F - в кінцевий. Точками B і Е позначаємо положення корми суховантажу, що йде попереду.

На схемі AF = AB + BC + CD + DE + EF, де відрізки
АВ - відставання носа другого суховантажу від корми першого на початку спостереження, AB = 400 м;
ВС - довжина першого суховантажу (відстань від носа до корми), ВС = 120 м;
СD - відстань, пройдену першим суховантажем за час спостереження, СD = v1 · 12 м;
DE - відставання носа першого суховантажу від корми другого через 12 хвилин, DE = 600 м;
EF - довжина другого суховантажу (відстань від носа до корми), EF = 80 м;
AF - відстань, пройдену другим суховантажем за час спостереження, AF = v2 · 12 м.
Підставляємо довжини відрізків в рівність і проводимо обчислення:
v2 · 12 = 400 + 120 + v1 · 12 + 600 + 80;
v2 · 12 = v1 · 12 + 1200; (V2 - v1) · 12 = 1200; v2 - v1 = 1200/12 = 100 (м / хв).
Таким чином, швидкість першого суховантажу менше швидкості другого на 100 метрів в хвилину. Щоб дати відповідь в кілометрах в годину, потрібно помножити на 60 (хвилин в годині) і розділити на 1000 (метрів за кілометр): 100 · 60/1000 = 6 км / год.

Спосіб II.

Знайдемо різницю швидкостей суховантажів в метрах за хвилину. Ця величина є відносною швидкістю, з якою більш швидкий корабель рухається щодо "зупиненого" повільного. Розберемося, яку відстань він пройшов за описані в умові задачі 12 хвилин:
1) ніс рухається суховантажу наздогнав корму "зупиненого" - 400 м;
2) ніс рухається суховантажу пройшов уздовж "зупиненого" - 120 м;
3) суховантаж перемістився на відстань рівне своїй довжині так, що його корми розташувалася у носа "зупиненого", - 80 м;
4) рухомий суховантаж пройшов ще 600 м.
Разом рухається з відносною швидкістю суховантаж пройшов за 12 хвилин відстань рівне 400 + 120 + 80 + 600 = 1200 (м). Отже, відносна швидкість склала 1200/12 = 100 (м / хв). Оскільки це і є шукана різниця швидкостей, то для відповіді на питання завдання залишилося тільки перейти до кілометрам на годину: 100 × 60/1000 = 6 (км / ч).

Відповідь: 6

Зауваження: Точок на схемі (навіть не кольорових) цілком достатньо, щоб розібратися в задачі. Якщо важко, то дайте точкам осмислені імена. Наприклад, Н1 - ніс першого, К2 - корми другого. Якщо все ще важко, малюйте поїзда, кораблі і літаки символічними прямокутниками.

Завдання на середню швидкість.

Щоб знайти середнє арифметичне кількох чисел, потрібно їх скласти і розділити суму на кількість доданків. Наприклад, середнє арифметичне чисел 1, 12, 30, 45 одно 22. Але чи завжди на практиці нас цікавить саме середнє арифметичне? Якщо 19 учнів склали іспит на 5-ку і тільки один на 2-ку, чи можна вважати, що клас в цілому встигає посередньо і заслужив середню оцінку (5 + 2) / 2 = 3,5? Чи не справедливіше було врахувати "вага" 5-ки і 2-ки? В даному випадку це можна зробити, склавши всі оцінки всіх учнів і розділивши суму на число учнів у класі: (19 × 5 + 1 × 2) / 20 = 4,85. Цілком гідний результат.

Отже, середня величина і середнє арифметичне чисел, що характеризують цю величину, не одне й те саме.

Середня швидкість руху на ділянці шляху довжиною S, пройдений за час t, визначається за формулою v = S / t.

Наприклад, якщо автомобіль рухався 3 години зі швидкістю 100 км / год і 1 годину зі швидкістю 10 км / год, то за 4 години він проїхав відстань S = 100 × 3 + 10 × 1 = 310 (км). Значить його середня швидкість становила 310/4 = 77,5 км / год. А якщо автомобіль рухався 3 години зі швидкістю 10 км / год і 1 годину зі швидкістю 100 км / год, то за 4 години він проїхав відстань S = 10 × 3 + 100 × 1 = 130 (км), і його середня швидкість становила 130 / 4 = 32,5 км / год.

Для порівняння обчислимо середнє арифметичне значення: (110 + 10) / 2 = 55 (км / год). У першому випадку автомобіль більшу частину часу їхав швидко, тому його середня швидкість більше середнього арифметичного значення, а в другому - більшу частину часу повільно, тому середня швидкість менше середнього арифметичного.

Розглянемо ще два випадки.
Нехай автомобіль рухався 2 години зі швидкістю 100 км / год і 2 години зі швидкістю 10 км / год, тоді за 4 години він проїхав відстань S = 100 × 2 + 10 × 2 = 220 (км). Значить його середня швидкість становила 220/4 = 55 км / год, що збігається із середнім арифметичним значенням. Так вийшло тому, що внесок швидкого і повільного руху був однаковим по часу.
І, нарешті, нехай автомобіль рухався перші 110 км зі швидкістю 100 км / год, а наступні 110 км зі швидкістю 10 км / ч, в результаті на першу половину шляху він витратив 110/100 = 1,1 години, а на другу - 110 / 10 = 11 годин. Тоді весь шлях 220 км він проїхав за 1,1 + 11 = 12,1 години з середньою швидкістю 220 / 12,1 = 18,18182 км / год, що знову сильно відрізняється від середнього арифметичного значення. Так вийшло тому, що внесок швидкого і повільного руху був різним за часом, хоча і однаковим по довжині пройдених ділянок.

завдання 15

Перші дві години автомобіль їхав зі швидкістю 50 км / год, наступну годину - зі швидкістю 100 км / год, а потім дві години - зі швидкістю 75 км / ч. Знайдіть середню швидкість автомобіля протягом усього шляху. Відповідь дайте у км / год.

Рішення

Всього в дорозі автомобіль був 2 + 1 + 2 = 5 годин. Проїхав відстань 50 · 2 + 100 · 1 + 75 · 2 = 350 кілометрів. Середня швидкість 350/5 = 70 км / год.

Відповідь: 70

завдання 16

Перші 190 км автомобіль їхав зі швидкістю 50 км / год, наступні 180 км - зі швидкістю 90 км / год, а потім 170 км - зі швидкістю 100 км / год. Знайдіть середню швидкість автомобіля протягом усього шляху. Відповідь дайте у км / год.

Рішення

Всього автомобіль пройшов шлях довжиною 190 + 180 + 170 = 540 км. Перша ділянка проїхав за 190/50 = 3,8 години, другий - за 180/90 = 2 години, третій - за 170/100 = 1,7 години. Всього було в дорозі 3,8 + 2 + 1,7 = 7,5 години. Середня швидкість 540 / 7,5 = 72 км / год.

Відповідь: 72

завдання 17

Першу третину траси автомобіль їхав зі швидкістю 60 км / год, другу третину - зі швидкістю 120 км / год, а останню - зі швидкістю 110 км / год. Знайдіть середню швидкість автомобіля протягом усього шляху. Відповідь дайте у км / год.

Рішення

Нехай довжина всієї траси S км, а кожної ділянки, відповідно, S / 3 км. Визначимо час руху по кожній ділянці:
t 1 = (S / 3) / 60 год, t 2 = (S / 3) / 120 ч, t 3 = (S / 3) / 110 ч. Час руху по всій трасі
t = t 1 + t 2 + t 3 = (S / 3) / 60 + (S / 3) / 120 + (S / 3) / 110 = (S / 3) · (1/60 + 1/120 + 1/110) = (S / 3) · (22 + 11 + 12) / 1320 = ( S / 3) · (45/1320) = S · (15/1320) = S / 88 (ч).
Середня швидкість v = S / t = S / (S / 88) = 88 км / год.

Відповідь: 88

Завдання на продуктивність.

Продуктивність праці - ефективність праці в процесі виробництва. Вимірюється кількістю продукції, виробленої в одиницю часу, або кількістю часу, витраченого на виробництво одиниці продукції.
Продуктивність обладнання - обсяг продукції (роботи), виробленої в одиницю часу даним устаткуванням. Вимірюється в тоннах, штуках, метрах і т.п. на одиницю часу.

У будь-якому випадку до завдань на продуктивність, треба ставитися так само, як до завдань на рух із заданою (або шуканої) швидкістю, так як

простіше кажучи, це швидкість виробництва:

- швидкість руху = відстань / час;
- продуктивність праці = обсяг продукції / час;
- продуктивність "труби" = обсяг води / час; и т.п.

Просто, читаючи умову задачі, потрібно пам'ятати, що труби, насоси, верстати ... - це обладнання, підготовка до іспиту, виконання замовлення, фарбування огорожі ... - це праця.

завдання 18

Кожен з двох робочих однаковою кваліфікації може виконати замовлення за 15 годин. Через 3 години після того, як один з них почав виконувати замовлення, до нього приєднався другий робочий, і роботу над замовленням вони довели до кінця вже разом. Скільки годин знадобилося на виконання всього замовлення?

Рішення

Весь замовлення позначимо символом Z, час, який робітники працювали разом, позначимо символом t. Кожен з двох робочих працює зі швидкістю Z / 15. За 3 години перший робочий виконав (Z / 15) · 3 замовлення, ще за t годин обидва робочих виконали (Z / 15) · t · 2 замовлення. Таким чином, був виконання весь замовлення, тобто (Z / 15) · 3 + (Z / 15) · t · 2 = Z.
Множимо обидві частини рівняння на 15 і ділимо на Z. отримаємо
3 + t · 2 = 15; t · 2 = 12; t = 6.
Таким чином, на виконання всього завказа знадобилося 3 + t = 3 + 6 = 9 годин.
Спосіб II.
Кожен з двох робочих за годину виконує 1/15 частина замовлення. За 3 години перший робочий виконав 3 · (1/15) = 3/15 = 1/5 частина замовлення. Решта 1 - 1/5 = 4/5 частини замовлення робочі робили разом зі швидкістю 2 · (1/15) = 2/15 частини на годину, отже виконали цю роботу за час (4/5) / (2/15) = (4 · 15) / (5 · 2) = 6 годин. Таким чином, весь замовлення було виконано за 3 + 6 = 9 годин.

Відповідь: 9

Зауваження: Спосіб II, на мій погляд, краще. Але, якщо ви за той час, який займалися алгеброю, забули арифметику, вводите додаткову невідому величину - весь обсяг продукції або роботи. Після складання рівняння ця величина повинна скоротитися.

завдання 19

Петя і Ваня виконують однаковий тест. Петя відповідає за годину на 8 питань тесту, а Ваня - на 9. Вони одночасно почали відповідати на питання тесту, і Петя закінчив свій тест пізніше Вані на 20 хвилин. Скільки питань містить тест?

Рішення

Нехай тест містить х питань. Петя відповів за х / 8 годин. Ваня відповів за х / 9 годин. Петя закінчив свій тест пізніше Вані на х / 8 - х / 9 годин або на (х / 8 - х / 9) · 60 хвилин, що за умовою задачі склало 20 хвилин:
(Х / 8 - х / 9) · 60 = 20;
х · (1/8 - 1/9) · 3 = 1;
х · (3/8 - 1/3) = 1; х · (9 - 8) / 24 = 1; х = 24.

Відповідь: 24

завдання 20

Перший насос наповнює бак за 20 хвилин, другий - за 30 хвилин, а третій - за 1 годину. За скільки хвилин наповнять бак три насоса, працюючи одночасно?

Рішення

У питанні завдання час в хвилинах, тому всюди перейдемо до хвилинам. 1 година = 60 хв.
Спосіб I.
Обсяг бака позначимо символом V літрів, тоді перший насос працює зі швидкістю V / 20 л / хв, другий - зі швидкістю V / 30 л / хв і третій - зі швидкістю V / 60 л / хв. Працюючи одночасно, вони наповнюють бак зі швидкістю V / 20 + V / 30 + V / 60 = V · (1/20 + 1/30 + 1/60) = V · (3 + 2 + 1) / 60 = V · 0,1 (л / хв). Значить весь бак буде наповнений за V / (V · 0,1) = 10 хвилин.
Спосіб II.
Перший насос наповнює за хвилину 1/20 частина бака, другий - 1/30 частина і третій - 1/60 частина. Працюючи одночасно, вони наповнюють за хвилину 1/20 + 1/30 + 1/60 = 6/60 = 1/10 частина бака. Значить весь бак буде наповнений за 10 хвилин.

Відповідь: 10

завдання 21

Перша труба наповнює резервуар на 6 хвилин довше, ніж друга. Обидві труби наповнюють цей же резервуар за 4 хвилини. За скільки хвилин наповнює цей резервуар одна друга труба?

Рішення

Нехай друга труба наповнює резервуар за t хвилин, тоді за одну хвилину вона наповнює 1 / t частина резервуара. Перша труба наповнює резервуар довше, за t + 6 хвилин, а за хвилину вона наповнює 1 / (t +6) частину резервуара. Обидві труби разом за хвилину наповнюють 1 / t + 1 / (t +6) частину резервуара. З іншого боку, вони разом наповнюють резервуар за 4 хвилини, значить за хвилину - 1/4 частина. Складемо і вирішимо рівняння:
1 / t + 1 / (t +6) = 1/4; 4 (t +6) + 4 t = t (t +6); 8 t + 24 = t 2 + 6 t;
t 2 - 2 t - 24 = 0. Корені рівняння t 1 = 6; t 2 = -4. Негативний корінь не має сенсу, отже t = 6.

Відповідь: 6

Якщо у Вас виникли труднощі з вирішенням цих завдань, то чи впевнені Ви, що розібралися з більш простими текстовими задачами в завданнях з меншими номерами демонстраційного варіанта?

Повернутися і повторити:

1. Завдання тільки на дії з раціональними числами.
2. Округлення відповіді.
3. Завдання на найбільше / найменше з цілими відповідями.
4. Застосування пропорцій.
5. Завдання з округленням.
6. Завдання на відсотки.
7. Прямі та обернені задачі.
8. Завдання змішані.
9. Завдання на системи вимірювання величин.

повернутися до списку завдань першій частині профільного рівня ЄДІ 2018.